A CLASSROOM NOTE HARMONIC CONJUGATES IN ARBITRARY PLANAR DOMAINS

Abstract

Eines der ersten Ergebnisse einer einführenden Vorlesung in die Funktionentheorie ist der Satz, dass eine in einem ebenen Gebiet \(\Omega\) stetige, komplexwertige Funktion \(f\) eine holomorphe Stammfunktion besitzt, wenn das komplexe Kurvenintegral \(\int_\Gamma f(z)\,dz\) über jeden geschlossenen Integrationsweg \(\Gamma \subseteq \Omega\) verschwindet. Eng damit zusammenhängend ist die Frage, wann eine harmonische Funktion \(u\) in \(\Omega\) eine harmonische Konjugierte besitzt; d.h. Wann es eine Funktion \(v\) gibt mit \(u+iv\) holomorph in \(\Omega\). Diese Note soll nun ein erstaunlicherweise nicht in den gängigen Lehrbüchern angegebenes formal ähnliches Kriterium zur Beantwortung dieser Frage herleiten: man ersetze \(f\) durch \(\frac{\partial u}{\partial n}\), die Normalableitung von \(u\) längs \(\Gamma\) und \(dz\) durch das Bogendifferential \(d\sigma\).