PEШАВАЊЕ НА ЕДНА КЛАСА ЛИНЕАРНИ ИНТЕГРАЛНИ РАВЕНКИ НА ВОЛТЕРРА ОД ВТОР ВИД

Abstract

Во оваа работа е разгледана следнава класа линеарни интегрални равенки на Волтерра од втор вид:

\[
x^k\phi(x)+\lambda\int_0^x
\left[
\sum_{i=1}^{k} a_i x^{k-i}(x-y)^{i-1}
\right]\phi(y)\,dy
=
x^k f(x).
\]

Со помош на лапласовата трансформација равенката се трансформира во ојлеровата диференцијална равенка:

\[
\begin{aligned}
p^kF^{(k)}
-\lambda\Bigg\{
&a_1p^{k-1}F^{(k-1)}
-\left[\binom{k-1}{1}a_1+a_2\right]p^{k-2}F^{(k-2)}
+\cdots \\
&+(-1)^{s-1}(s-1)!
\left[
\binom{k-1}{s-1}a_1+
\binom{k-2}{s-2}a_2+\cdots+a_s
\right]
p^{k-s}F^{(k-s)}
+\cdots \\
&+(-1)^{k-1}(k-1)![a_1+a_2+\cdots+a_k]F(p)
\Bigg\}
=
(-1)^kp^kG(p),
\end{aligned}
\]

каде што \(F(p)=L(\phi(x))\), \(G(p)=L(x^kf(x))\).