SUR LES PROBLÈMES DE POSSIBILITÉ ET DE L’IMPOSSIBILITÉ D’OBTENIR EFFECTIVEMENT DES SOLUTIONS PARTICULIÈRES DE L’ÉQUATION DE RICCATI - Kapcia, Andrzej (Matematichki Bilten, 2013)
En profitant de méthode de l’intégrale particulière pour l’équation de Riccati présentée symboliquement dans [10] et appliquée antérieurement dans le travail [7] on faire la discussion sur la possibilité d’obtenir les nouvelles généralisations d’intégrabilité effective de l’équation (0.1). Dans ce but, on profit des résultats obtenus dans le travail [7] et de l’équation d’Euler du second ordre parce que parmi ces équations existe une correspondance. On montre qu’ils existent 90 classes d’équations plus générales que l’équation de Riccati qui corresponde à l’équation d’Euler du second ordre et toutes ces équations sont effectivement intégrables. Dans le deuxième chapitre on étude les propriétés de l’équivalence des critères différentiels introduits par la méthode de l’intégrale particulière dans [7] en citant et démontrant les théorèmes: Th. 2.1 et Th. 2.2 qui déterminent leures réciproques relations. Dans la troisième partie de ce travail, on construit l’exemple de l’équation de Riccati, qui peut être effectivement intégrable et telle pour laquelle cela est impossible. Pour cela on profit du théorème de J. Liouville pour l’équation spéciale de Riccati (Th. 3.2). Il existe continuum des conditions différentielles citées dans cette note, qu’on peut transformer à l’équation spéciale de Riccati pour laquelle le Th. de J. Liouville est obligatoire.